OSK 2017 no7

Pada sistem massa-pegas-katrol di samping ini, diketahui pegas tak bermassa dengan tetapan k digantung vertikal pada atap tetap. Panjang pegas mula-mula dalam keadaan tidak tertarik atau tertekan adalah {{y}_{0}}. Di bawah pegas tergantung sebuah katrol silinder bermassa m berjari-jari R dengan momen inersia I=\frac{1}{2}m{{R}^{2}}. Pada katrol tersebut terdapat tali tak bermassa yang tidak dapat mulur yang menghubungkan massa {{m}_{1}} dan {{m}_{2}}. Jika {{m}_{1}}\ne {{m}_{2}}, tentukan kecepatan sudut osilasi pegas.

no7 2017

Keterangan:

a= percepatan benda 1 dan 2 terhadap katrol

{{a}_{0}}= percepatan katrol turun ke bawah terhadap tanah

{{a}_{1}}= percepatan benda 1 terhadap tanah

{{a}_{2}}= percepatan benda 2 terhadap tanah

 

Aturan tanda besaran vektor:

Ke atas negatif

Ke bawah positif

 

Analisis benda 1

Untitled-1

{{m}_{1}}g-{{T}_{1}}={{m}_{1}}{{a}_{1}}~~\ldots \left( 1 \right)

{{a}_{1}}=a+{{a}_{0}}~~\ldots \left( 2 \right)

 

Analisis benda 2

Untitled-2

{{m}_{2}}g-{{T}_{2}}={{m}_{2}}\left( {-{{a}_{2}}} \right)~~\ldots \left( 3 \right)

-{{a}_{2}}=-a+{{a}_{0}}~~\ldots \left( 4 \right)

 

Analisis katrol

Untitled-3

Translasi katrol

{{T}_{1}}+{{T}_{2}}+mg-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=m{{a}_{0}}~~\ldots \left( 5 \right)

Rotasi katrol

{{T}_{1}}-{{T}_{2}}=\frac{1}{2}ma~~\ldots \left( 6 \right)

 

Solusi:

Variabel yang diketahui ada  7 yaitu: k,~m,~{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~R,~I,~{{y}_{0}}

Variabel yang tidak diketahui ada 6 yaitu: {{T}_{1}},~{{T}_{2}},~a,{{a}_{0}},~{{a}_{1}},~{{a}_{2}} di mana {{a}_{0}} (percepatan GHS) adalah variabel yang ingin kita tentukan sehingga {{\omega }^{2}} bisa kita peroleh. Selesaikan keenam persamaan di atas:

{{T}_{1}}+{{T}_{2}}+mg-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=m{{a}_{0}}~~\ldots \left( 5 \right)

\left( {{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}{{a}_{1}}} \right)+\left( {{{m}_{2}}g-{{m}_{2}}\left( {-{{a}_{2}}} \right)} \right)+mg-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=m{{a}_{0}}~~~\leftarrow \left( 1 \right)\And \left( 3 \right)

{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}\left( {a+{{a}_{0}}} \right)+\left( {{{m}_{2}}g-{{m}_{2}}\left( {{{a}_{0}}-a} \right)} \right)+mg-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=m{{a}_{0}}~~~\leftarrow \left( 2 \right)\And \left( 4 \right)

{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}a-{{m}_{1}}{{a}_{0}}+{{m}_{2}}g-{{m}_{2}}{{a}_{0}}+{{m}_{2}}a+mg-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=m{{a}_{0}}

mg+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}g+{{m}_{2}}a-{{m}_{1}}a-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=m{{a}_{0}}+{{m}_{1}}{{a}_{0}}+{{m}_{2}}{{a}_{0}}

\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g+\left( {{{m}_{2}}-{{m}_{1}}} \right)a-k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right){{a}_{0}}~~\ldots \left( 7 \right)

 

Kita peroleh persamaan baru yaitu persamaan (7). Variabel a belum diketahui, kita tentukan dulu variabel a dengan:

{{T}_{1}}-{{T}_{2}}=\frac{1}{2}ma~~\ldots \left( 6 \right)

\left( {{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}{{a}_{1}}} \right)-\left( {{{m}_{2}}g-{{m}_{2}}\left( {-{{a}_{2}}} \right)} \right)=\frac{1}{2}ma~~\leftarrow \left( 1 \right)\And \left( 3 \right)

{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}{{a}_{1}}-{{m}_{2}}g+{{m}_{2}}\left( {-{{a}_{2}}} \right)=\frac{1}{2}ma

{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}\left( {a+{{a}_{0}}} \right)-{{m}_{2}}g+{{m}_{2}}\left( {{{a}_{0}}-a} \right)=\frac{1}{2}ma~~\leftarrow \left( 2 \right)\And \left( 4 \right)

{{m}_{1}}g-{{m}_{1}}a-{{m}_{1}}{{a}_{0}}-{{m}_{2}}g+{{m}_{2}}{{a}_{0}}-{{m}_{2}}a=\frac{1}{2}ma

{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g-{{m}_{1}}{{a}_{0}}+{{m}_{2}}{{a}_{0}}=\frac{1}{2}ma+{{m}_{1}}a+{{m}_{2}}a

a=\frac{{\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right)g-\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right){{a}_{0}}}}{{\frac{1}{2}m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}~~\ldots \left( 8 \right)

 

Kita peroleh a sebagai persamaan (8). Perhatikan bahwa di persamaan (7) ada suku \left( {{{m}_{2}}-{{m}_{1}}} \right) sedangkan di persamaan (8) ada suku \left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right). Kalikan persamaan (7) dengan -1 sehingga \left( {{{m}_{2}}-{{m}_{1}}} \right) menjadi \left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right). Kenapa? Supaya suku-suku persamaan (7) dan (8) menjadi sama dan lebih mudah untuk diselesaikan.

 

Persamaan (7) menjadi:

-\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g+\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right)a+k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=-\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right){{a}_{0}}~~\ldots \left( 7 \right)

 

Supaya lebih ringkas dalam menyusun persamaan yang panjang ini, kita misalkan:

A=m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}

B=\frac{m}{2}+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}

C={{m}_{1}}-{{m}_{2}}

 

Persamaan (8) menjadi:

a=\frac{{\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right)g-\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right){{a}_{0}}}}{{\frac{1}{2}m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}~~\ldots \left( 8 \right)

a=\frac{{{{C}^{2}}g-{{C}^{2}}{{a}_{0}}}}{B}~~\ldots \left( 8 \right)

 

Selesaikan persamaan (7):

-\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g+\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right)a+k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=-\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right){{a}_{0}}~~\ldots \left( 7 \right)

-Ag+\frac{{{{C}^{2}}g-{{C}^{2}}{{a}_{0}}}}{B}+k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=-A{{a}_{0}}~~~\leftarrow \left( 8 \right)

-Ag+\frac{{{{C}^{2}}}}{B}g-\frac{{{{C}^{2}}}}{B}{{a}_{0}}+k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=-A{{a}_{0}}

-Ag+\frac{{{{C}^{2}}}}{B}g+k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=-A{{a}_{0}}+\frac{{{{C}^{2}}}}{B}{{a}_{0}}

\left( {\frac{{{{C}^{2}}}}{B}-A} \right)g+k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)=\left( {\frac{{{{C}^{2}}}}{B}-A} \right){{a}_{0}}

{{a}_{0}}=g+\frac{{k\left( {y-{{y}_{0}}} \right)}}{{\left( {\frac{{{{C}^{2}}}}{B}-A} \right)}}

{{a}_{0}}=\frac{{kB}}{{{{C}^{2}}-AB}}\left( {y-{{y}_{0}}} \right)+g

{{a}_{0}}=\frac{{kB}}{{{{C}^{2}}-AB}}\left( {y-{{y}_{0}}} \right)+g~~~\times \frac{{-1}}{{-1}}

                         {{a}_{0}}=-\frac{{kB}}{{AB-{{C}^{2}}}}\left( {y-{{y}_{0}}} \right)+g~~

 

Sampai di sini selesai karena kita sudah peroleh {{\omega }^{2}}. Namun kalau mau dilanjutkan ke persamaan simpangan getaran boleh juga. Dengan {{\omega }^{2}}=\frac{{kB}}{{AB-{{C}^{2}}}}, menjadi:

{{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}\left( {y-{{y}_{0}}} \right)+g~~

{{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}y+{{\omega }^{2}}{{y}_{0}}+g

{{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}y+{{\omega }^{2}}\left( {{{y}_{0}}+\frac{g}{{{{\omega }^{2}}}}} \right)

 

Dengan D=\left( {{{y}_{0}}+\frac{g}{{{{\omega }^{2}}}}} \right), menjadi:

{{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}y+{{\omega }^{2}}\left( {{{y}_{0}}+\frac{g}{{{{\omega }^{2}}}}} \right)

{{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}\left( {y-D} \right)

 

Dengan z=y-D, menjadi:

{{a}_{0}}=-{{\omega }^{2}}z

 

Kecepatan sudut pegas:

{{\omega }^{2}}=\frac{{kB}}{{AB-{{C}^{2}}}}

{{\omega }^{2}}=\frac{{k\left( {\frac{m}{2}+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}}{{\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)\left( {\frac{m}{2}+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)-{{{\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right)}}^{2}}}}

\omega =\sqrt{{\frac{{k\left( {\frac{m}{2}+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}}{{\left( {m+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)\left( {\frac{m}{2}+{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)-{{{\left( {{{m}_{1}}-{{m}_{2}}} \right)}}^{2}}}}}}

Advertisements