Gaya Fiktif – Bagian 5

Kerangka acuan yang berotasi

Dibagian 4 kita sudah belajar tentang gaya sentrifugal dan gaya koriolis. Gaya-gaya ini memberikan efek yang kecil dan tidak kita rasakan. Namun jika dilakukan pengamatan yang cermat, efek ini akan terdeteksi; begitu pula di alami ini, efek koriolis mempengaruhi pergerakan massa udara dan dengan demikian mempengaruhi cuaca. Contohnya adalah angin puyuh berotasi searah jarum jam di belahan bumi selatan dan berotasi berlawanan arah jarum jam di belahan bumi utara. Efek-efek ini terjadi karena bumi sebagai kerangka acuan yang berotasi.

Dibagian sebelum-sebelumnya kita telah banyak membahas teori tentang kerangka acuan. Sekarang kita akan menurunkan persamaan percepatan yang dirasakan bola jika diamati dari sudut pandang tanah (G-frame) dan dari sudut pandang platform (T-frame).

Ingat:

  • Kerangka acuan (sudut pandang) tanah adalah kerangka acuan inersia
  • Kerangka acuan platform yang berputar adalah kerangka acuan non-inersia.

Perhatikan lagi gambar 2a di pembahasan kita di bagian 4. Pada saat itu, pengamatan dilakukan dari tanah (G-frame). Menurut orang di tanah, kecepatan bola pada platform adalah:

{}_{{}}^{G}v={}_{{}}^{T}v+r\times \omega … (1)

Di mana: {}_{{}}^{G}v = kecepatan bola menurut pengamat di tanah (kecepatan bola terhadap tanah), {}_{{}}^{T}v =  kecepatan bola menurut pengamat di platform (kecepatan bola terhadap platform), dan r\times \omega = kecepatan tangensial bola.

Secara umum persamaan (1) bisa dinyatakan dengan: (dalam bentuk turunan)

{}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}r={}_{{}}^{T}\frac{d}{dt}r+r\times \omega … (2)

Percepatan bola menurut pengamat di tanah adalah turunan dari persamaan (1) terhadap waktu yang dialami pengamat di tanah:

{}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}{}_{{}}^{G}v={}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}\left( {}_{{}}^{T}v+r\times \omega  \right)

Ingat bahwa {}_{{}}^{G}v, {}_{{}}^{T}v, r dan \omega adalah fungsi waktu, sehingga:

{}_{{}}^{G}a={}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}\left( {}_{{}}^{T}v \right)+{}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}\left( r\times \omega  \right) …(3)

Lihat persamaan (2)! Terapkan polanya untuk bagian kiri dari ruas kanan persamaan (3), menjadi:

{}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}\left( {}_{{}}^{T}v \right)={}_{{}}^{T}\frac{d}{dt}{}_{{}}^{T}v+{}_{{}}^{T}v\times \omega … (4)

Turunan bagian kanan dari ruas kanan persamaan (3) adalah: (ingat uv={{u}^{'}}v+uv')

{}_{{}}^{G}\frac{d}{dt}\left( r\times \omega  \right)={}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}\times r+\omega \times {}_{{}}^{G}\frac{dr}{dt} … (5)

Substitusi persamaan (4) dan (5) ke persamaan (3), menjadi:

{}_{{}}^{G}a=\left( {}_{{}}^{T}\frac{d}{dt}{}_{{}}^{T}v+{}_{{}}^{T}v\times \omega  \right)+\left( {}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}\times r+\omega \times {}_{{}}^{G}\frac{dr}{dt} \right)

{}_{{}}^{G}a=\left( {}_{{}}^{T}a+{}_{{}}^{T}v\times \omega  \right)+\left( {}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}\times r+\omega \times {}_{{}}^{G}v \right) …(6)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (6), menjadi:

{}_{{}}^{G}a={}_{{}}^{T}a+{}_{{}}^{T}v\times \omega +{}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}\times r+\omega \times \left( {}_{{}}^{T}v+r\times \omega  \right)

{}_{{}}^{G}a={}_{{}}^{T}a+{}_{{}}^{T}v\times \omega +{}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}\times r+{}_{{}}^{T}v\times \omega +r\times {{\omega }^{2}} … (7)

Sederhanakan saja persamaan (7), menjadi:

{}_{{}}^{G}a={}_{{}}^{T}a+r{}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}+2{}_{{}}^{T}v\omega +r{{\omega }^{2}} … (8)

Persamaan (8) inilah yang menyatakan percepaan total bola yang dilihat oleh orang di tanah.

Di mana:

{}_{{}}^{G}a = percepatan bola menurut orang di tanah

{}_{{}}^{T}a = percepatan bola menurut orang di platform

2{}_{{}}^{T}v\omega = percepatan koriolis

r{{\omega }^{2}} = percepatan sentripetal

r{}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt} = percepatan euler, {}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt} = percepatan sudut platform terhadap tanah.

Marilah sekarang kita lebih sederhanakan lagi persamaan (8). Jika kecepatan sudut \omega = konstan, maka percepatan sudut α = 0. Percepatan bola menurut orang di platform {}_{{}}^{T}a = 0 karena bola diam terhadap platform, begitu juga {}_{{}}^{T}v = 0. Dan menyisakan:

{}_{{}}^{G}a=r{{\omega }^{2}}

Menurut pengamat di tanah, bola hanya mengalami percepatan sentripetal. Inilah yang sering kita gunakan dalam penerapan dinamika gerak melingkar. ^-^

Lalu,bagaimanakah percepatan bola menurut orang di platform? {}_{{}}^{G}v = konstan atau {}_{{}}^{G}a=0 dan {}_{{}}^{G}\frac{d\omega }{dt}=0, sehingga:

{}_{{}}^{T}a=-2{}_{{}}^{T}v\omega -r{{\omega }^{2}}

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s