Vektor Posisi, Kecepatan dan Percepatan

Vektor Posisi Dan Vektor Kecepatan

            Untuk menyatakan gerak partikel di dalam ruang, terlebih dahulu kita perlu menyatakan posisi dari partikel. Tinjau sebuah partikel pada titik P pada suatu saat tertentu. Vektor posisi \vec{r} dari partikel pada saat tersebut adalah sebuah vektor yang pergi dari titik pusat koordinat menuju titik P, gambar 1. Gambar juga memperlihatkan bahwa koordinat kartesian x, y dan z dari titik P adalah komponen x, y dan z dari vektor posisi \vec{r}. Dengan menggunakan vektor satuan, kita dapat menulis:

\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}

Untitled-1

Gambar 1. Vektor posisi \vec{r} dari pusat koordinat menuju titik P memiliki komponen x, y dan z (3 dimensi)

Saat partikel bergerak dalam sebuah bidang (2 dimensi), lintasannya secara umum adalah sebuah lengkungan, gambar 2(a). Selama selang waktu \Delta t partikel bergerak dari {{P}_{1}}, dengan vektor posisi {{\vec{r}}_{1}}, menuju {{P}_{2}}, dengan vektor posisi {{\vec{r}}_{2}}. Perubahan selama selang waktu ini adalah \Delta \vec{r}={{\vec{r}}_{2}}-{{\vec{r}}_{1}}. Sama seperti gerak lurus, kita mendefinisikan kecepatan rata-rata {{\vec{v}}_{rt}} selama selang waktu ini sebagai perpindahan dibagi selang waktu:

{{\vec{v}}_{rt}}=\frac{{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}

Arah {{\vec{v}}_{rt}} sama dengan arah \Delta \vec{r}.

Untitled-2

(a)

Untitled-3

(b)

Gambar 2. (a) Kecepatan rata-rata {{\vec{v}}_{rt}} antara titik {{P}_{1}} dan {{P}_{2}} mempunyai arah yang sama sepanjang perpindahan \Delta \vec{r}. (b) Kecepatan sesaat \vec{v} pada setiap titik selalu menyinggung lintasan yang melalui titik tersebut.

Sekarang kita mendefinisikan kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata untuk selang waktu mendekati nol. Kecepatan sesaat ini dihitung dari laju perubahan posisi sesaat terhadap waktu.

\vec{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}

Salah satu cara termudah untuk menghitung vektor kecepatan sesaat adalah menggunakan komponen-komponennya.

\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}

Dengan {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}, {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}, dan {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}~. Besar dari vektor kecepatan sesaat -yaitu laju- dinyatakan dalam komponen {{v}_{x}},~{{v}_{y}},~{{v}_{z}} oleh hubungan phitagoras:

v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}

Pada gambar 2(b), memperlihatkan situasi saat partikel bergerak dalam bidang xy. Pada kasus ini z dan {{v}_{z}} adalah nol. Maka lajunya:

v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

Dan arah dari kecepatan sesaat:

\tan \alpha =\frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}}

Vektor Percepatan

Sama seperti gerak dalam lintasan garis lurus, percepatan menyatakan bagaimana perubahan kecepatan sebuah partikel. Tetapi sekarang secara umum percepatan menyatakan perubahan dari besar kecepatan (yaitu lajunya) dan perubahan arah kecepatan (yaitu arah dari pergerakan partikel).

Untitled-4

(a)

Untitled-5

(b)

Gambar 3. (a) Vektor {{\vec{a}}_{rt}} menyatakan kecepatan rata-rata antara {{P}_{1}} dan {{P}_{2}}. (b) Susunan untuk memperoleh \Delta \vec{v}={{\vec{v}}_{2}}-{{\vec{v}}_{1}}.

            Pada gambar 3(a), sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah lintasan melengkung. Vektor-vektor {{\vec{v}}_{1}} dan {{\vec{v}}_{2}} menyatakan kecepatan sesaat yang dimiliki partikel pada saat {{t}_{1}}, yaitu ketika partikel berada pada titik {{P}_{1}}, dan saat {{t}_{2}}, yaitu ketika partikel berada pada titik {{P}_{2}}. Kedua kecepatan ini berbeda dalam besar maupun arahnya. Kita definisikan kecepatan rata-rata {{\vec{a}}_{rt}} dari partikel selama bergerak dari {{P}_{1}} ke {{P}_{2}} sebagai perubahan vektor kecepatan \Delta \vec{v}={{\vec{v}}_{2}}-{{\vec{v}}_{1}} dibagi dengan selang waktunya:

{{\vec{a}}_{rt}}=\frac{{{{\vec{v}}}_{2}}-{{{\vec{v}}}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}

Percepatan rata-rata adalah sebuah besaran vektor yang arahnya sama dengan vektor kecepatan \Delta \vec{v}, gambar 3(a).

            Percepatan sesaat \vec{a} pada titik {{P}_{1}} sebagai limit yang dihampiri oleh kecepatan rata-rata ketika titik {{P}_{2}} mendekati titik {{P}_{1}} dan \Delta \vec{v} dan \Delta t keduanya mendekati nol. Percepatan sesaat juga sama dengan laju perubahan sesaat dari kecepatan terhadap waktu.

\vec{a}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt}

Untitled-6

Gambar 4. Percepatan sesaat \vec{a} pada titik {{P}_{1}}. Vektor \vec{v} menyinggung lintasan; vektor \vec{a} menuju sisi cekung lintasan.

Seperti yang telah kita lihat, vektor kecepatan sesaat \vec{v} menyinggung lintasan partikel. Tetapi susunan pada gambar 4 menunjukkan bahwa vektor percepatan sesaat \vec{a} dari sebuah partikel yang bergerak selalu mengarah ke sisi cekung dari lintasan melengkung – yaitu mengarah ke bagian dalam dari setiap belokan yang dibuat partikel. Kita juga dapat mengamati bahwa ketika sebuah partikel bergerak dalam lintasan melengkung, percepatannya selalu tidak pernah nol bahkan ketika partikel tersebut bergerak dengan kecepatan konstan. Kesimpulan ini tampaknya bertentangan dengan intuisi Anda, tetapi yang sebenarnya adalah pernyataan ini bertentangan dengan penggunaan sehari-hari dari kata “percepatan”, yang berarti lajunya meningkat.

            Untuk meyakinkan Anda bahwa sebuah partikel memiliki percepatan yang tidak nol saat bergerak dengan laju yang konstan pada sebuah lintasan melengkung, pikirkanlah sensasi yang Anda alami saat mengendarai mobil. Saat mobil dipercepat, Anda cenderung bergerak di dalam mobil dengan arah yang berlawanan dengan arah percepatan mobil. Jadi Anda cenderung mundur ke belakang saat mobil bertambah cepat ke depan dan maju depan saat mobil bertambah cepat ke belakang. Jika mobil berbelok pada jalan yang rata, Anda akan bergeser ke arah luar dari belokan tersebut, sehingga dapat dikatakan mobil memiliki percepatan ke arah dalam dari belokan.

Untitled-7

Gambar 5. Vektor kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak melewati titik P pada sebuah lintasan melengkung dengan (a) laju konstan, (b) laju meningkat, (c) laju menurun.

Gambar 5 memperlihatkan sebuah partikel yang bergerak disepanjang sebuah lintasan melengkung untuk tiga situasi yang berbeda: laju yang konstan, laju yang meningkat, dan laju yang menurun. Jika lajunya konstan, \vec{a} tegak lurus, atau normal, terhadap lintasan dan terhadap \vec{v} serta arahnya menuju ke sisi cekung dari lintasan, gambar 5(a). Jika laju meningkat, komponen \vec{a} yang tegak lurus masih ada, tetapi juga terdapat sebuah komponen parallel (sejajar) yang arahnya sama dengan \vec{v}, gambar 5(b). Jika lajunya menurun, komponen paralelnya akan memiliki arah yang berlawanan dengan \vec{v}, dan \vec{a} menunjuk ke arah belakang dari normal terhadap lintasan, gambar 5(c).

Untitled-8 Percepatan a memiliki komponen:

{{a}_{\bot }} = komponen percepatan yang tegak lurus v = percepatan sentripetal

{{a}_{\parallel }} = komponen percepatan yang sejajar v = percepatan tangensial

Gambar 6. Komponen percepatan \vec{a} partikel yang bergerak melengkung.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s