Gerak Peluru pada Bidang Miring Ditembak ke atas

 

Peluru ditembakkan dengan sudut elevasi α terhadap bidang miring (kemiringan = θ)

untitled-1

 

Penyelesaian:

Diagram vektor besaran-besaran kinematika pada peluru

untitled-2

  1. Berapakah percepatan peluru dalam arah sumbu-x dan sumbu-y?

{{a}_{x}}=-g\sin \theta

{{a}_{y}}=-g\cos \theta

  1. Berapakah kecepatan awal peluru dalam arah sumbu-x dan sumbu-y?

{{v}_{0x}}={{v}_{0}}\cos \alpha

{{v}_{0y}}={{v}_{0}}\sin \alpha

  1. Dimanakah posisi peluru setelah bergerak selama t sekon?

x={{v}_{0x}}t+\frac{1}{2}{{a}_{x}}{{t}^{2}}

x={{v}_{0}}\cos \alpha t-\frac{1}{2}g\sin \theta {{t}^{2}}

Sedangkan

y={{v}_{0y}}t+\frac{1}{2}{{a}_{y}}{{t}^{2}}

y={{v}_{0}}\sin \alpha t-\frac{1}{2}g\cos \theta {{t}^{2}}

  1. Berapakah kecepatan peluru dalam arah sumbu-x dan sumbu-y setelah peluru bergerak selama t detik?

{{v}_{x}}={{v}_{0x}}+{{a}_{x}}t

{{v}_{x}}={{v}_{0}}\cos \alpha -g\sin \theta t

Sedangkan

{{v}_{y}}={{v}_{0y}}+{{a}_{y}}t

{{v}_{y}}={{v}_{0}}\sin \alpha -g\cos \theta t

  1. Berapakah waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai tinggi maksimum? Pada waktu itu tercapai, di manakah posisi peluru?

Tinggi maksimum dicapai peluru saat {{v}_{y}}=0 dan waktunya kita sebut {{t}_{maks}}={{t}_{m}}. Waktu untuk mencapai tinggi maksimum

                                   {{v}_{y}}={{v}_{0}}\sin \alpha -g\cos \theta {{t}_{m}}

{{v}_{0}}\sin \alpha =g\cos \theta {{t}_{m}}

{{t}_{m}}=\frac{{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta }

Posisi tinggi maksimal \left( {{x}_{m}},{{y}_{m}} \right) diperoleh dengan mensubstitusikan {{t}_{m}} ke x dan y. x dan y ini sekarang kita sebut {{x}_{maks}}={{x}_{m}} dan {{y}_{maks}}={{y}_{m}}

  {{y}_{m}}={{v}_{0}}\sin \alpha {{t}_{m}}-\frac{1}{2}g\cos \theta t_{m}^{2}

{{y}_{m}}={{v}_{0}}\sin \alpha \left( \frac{{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta } \right)-\frac{1}{2}g\cos \theta {{\left( \frac{{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta } \right)}^{2}}

{{y}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{g\cos \theta }-\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g\cos \theta }

{{y}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g\cos \theta }

{{y}_{m}}=\frac{v_{0y}^{2}}{2{{g}_{y}}}

Sedangkan

{{x}_{m}}={{v}_{0}}\cos \alpha \left( \frac{{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta } \right)-\frac{1}{2}g\sin \theta {{\left( \frac{{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta } \right)}^{2}}

{{x}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{g\cos \theta }-\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha \sin \theta }{g~co{{s}^{2}}\theta }

{{x}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}\sin \alpha }{g\cos \theta }\left( \cos \alpha -\frac{\sin \alpha \sin \theta }{\cos \theta } \right)

{{x}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}\sin \alpha }{g\cos \theta }\left( \frac{\cos \alpha \cos \theta }{\cos \theta }-\frac{\sin \alpha \sin \theta }{\cos \theta } \right)

{{x}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}\sin \alpha }{g{{\cos }^{2}}\theta }\left( \cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta  \right)

Ingat identitas trigonometri \cos \left( \alpha +\theta  \right)=\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta , jadi

{{x}_{m}}=\frac{v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)

  1. Kapan peluru jatuh pada bidang miring?

Peluru jatuh di bidang miring pada saat y = 0 dan waktunya kita sebut {{t}_{udara}}={{t}_{u}}

            y={{v}_{0}}\sin \alpha {{t}_{u}}-\frac{1}{2}g\cos \theta t_{u}^{2}

{{v}_{0}}\sin \alpha {{t}_{u}}=\frac{1}{2}g\cos \theta t_{u}^{2}

{{v}_{0}}\sin \alpha =\frac{1}{2}g\cos \theta t_{u}^{2}

{{t}_{u}}=\frac{2{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta }

Posisi jatuh di bidang miring \left( {{x}_{u}},0 \right)

{{x}_{u}}={{v}_{0}}\cos \alpha \left( \frac{2{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta } \right)-\frac{1}{2}g\sin \theta {{\left( \frac{2{{v}_{0}}\sin \alpha }{g\cos \theta } \right)}^{2}}

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{g\cos \theta }-\frac{2g\sin \theta v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{{{g}^{2}}{{\cos }^{2}}\theta }

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}\sin \alpha }{g\cos \theta }\left( \cos \alpha -\frac{\sin \theta \sin \alpha }{\cos \theta } \right)

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}\sin \alpha }{g\cos \theta }\left( \frac{\cos \alpha \cos \theta }{\cos \theta }-\frac{\sin \alpha \sin \theta }{\cos \theta } \right)

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}\sin \alpha }{g{{\cos }^{2}}\theta }\left( \cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta  \right)

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)

  1. Berapakah sudut \alpha supaya peluru jatuh tegak lurus pada bidang miring?

Sudut \alpha supaya peluru jatuh \bot bidang miring terjadi saat {{v}_{x}}=0

Waktu terjadinya pada saat

{{v}_{x}}={{v}_{0}}\cos \alpha -g\sin \theta t

t=\frac{{{v}_{0}}\cos \alpha }{g\sin \theta }

 

Posisi jatuh, y = 0

y={{v}_{0}}\sin \alpha t-\frac{1}{2}g\cos \theta {{t}^{2}}

{{v}_{0}}\sin \alpha t=\frac{1}{2}g\cos \theta {{t}^{2}}

{{v}_{0}}\sin \alpha =\frac{1}{2}g\cos \theta \left( \frac{{{v}_{0}}\cos \alpha }{g\sin \theta } \right)

\frac{2{{v}_{0}}\sin \alpha }{{{v}_{0}}\cos \alpha }=\frac{g\cos \theta }{g\sin \theta }

2\tan \alpha =\cot \theta

\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{1}{2}\cot \theta  \right)

 

  1. Berapa sudut \alpha supaya jangkauan peluru mencapai paling jauh atau maksimal?

Jangkauan peluru adalah {{x}_{u}}.

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)

Supaya {{x}_{u}} mencapai maksimalnya, maka \sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right) harus maksimal. Sampai saat ini kita belum dapat menghitung nilai \alpha , masih diperlukan sedikit lagi rekayasa persamaan matematisnya.

  • Tarik garis vertikal ke atas sebagai garis bantu dan kita misalkan sudut yang terbentuk antara {{v}_{0}} dan garis vertikal ini adalah \gamma
  • Pada soal ini yang ditanyakan adalah besar sudut \alpha , sehingga nilai \alpha akan diubah-ubah untuk menghasilkan nilai {{x}_{u}} yang paling jauh atau maksimum. Jika \alpha diperbesar, maka nilai \gamma makin kecil, dan sebaliknya jika \alpha diperkecil, maka \gamma makin besar, sehingga nilai \left( \alpha +\gamma \right) selalu tetap

untitled-3

Dari gambar di atas:

\theta +\alpha +\gamma =90{}^\circ … (8.0)

\theta +\alpha =90{}^\circ -\gamma

Syarat: \sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right) harus maksimum

\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)=\sin \alpha \cos \left( 90{}^\circ -\gamma  \right)

\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)=\sin \alpha \sin \gamma … (8.1)

Diketahui identitas trigonometri

2\sin \alpha \sin \gamma =\cos \left( \alpha -\gamma  \right)-\cos \left( \alpha +\gamma  \right) … (8.2)

Antara (8.1) dan (8.2)

\sin \alpha \sin \gamma =\frac{1}{2}\left( 2\sin \alpha \sin \gamma  \right)

\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)=\frac{1}{2}\left\{ \cos \left( \alpha -\gamma  \right)-\cos \left( \alpha +\gamma  \right) \right\}

Karena \left( \alpha +\gamma  \right) = konstan, maka \sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right) akan maksimum saat \cos \left( \alpha -\gamma  \right) = maksimum juga, artinya:

                                           \cos \left( \alpha -\gamma  \right)=1

\cos \left( \alpha -\gamma  \right)=\cos 0{}^\circ

\alpha -\gamma =0

\alpha =\gamma … (8.3)

Substitusi (8.3) ke (8.0)

\theta +\alpha +\alpha =90{}^\circ

\alpha =\frac{1}{2}\left( 90{}^\circ -\theta  \right)

Cara alternatif untuk mencari sudut \alpha supaya jangkauan peluru mencapai paling jauh atau maksimal adalah dengan menurunkan persamaan (6.1) terhadap α dan menyamakannya dengan nol.

{{x}_{u}}=\frac{2v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)

Kita sebut saja {{x}_{u}} sebagai R, maka

\frac{dR}{d\alpha }=\frac{d}{d\alpha }\left( \frac{2v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\sin \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right) \right)=0

\frac{2v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\left[ \cos \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)+\sin \alpha \left( -\sin \left( \alpha +\theta  \right) \right) \right]=0

\frac{2v_{0}^{2}}{g{{\cos }^{2}}\theta }\left[ \cos \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)-\sin \alpha \sin \left( \alpha +\theta  \right) \right]=0

\cos \alpha \cos \left( \alpha +\theta  \right)-\sin \alpha \sin \left( \alpha +\theta  \right)=0

Ingat identitas trigonometri \cos \left( x+y \right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y, maka

\cos \left( 2\alpha +\theta  \right)=0

\cos \left( 2\alpha +\theta  \right)=\cos 90{}^\circ

2\alpha +\theta =90{}^\circ

\alpha =\frac{1}{2}\left( 90{}^\circ -\theta  \right)

 

asik,,, panjang banget pembahasannya… ^-^

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s