Kecepatan Terminal

Kecepatan Terminal

Selama ini kita hanya belajar gerak jatuh bebas benda bila gesekan diabaikan, marilah sekarang mulai memperhitungkan gesekan.

Saat benda bergerak dengan kecepatan v dalam udara atau cairan (fluida) maka benda mengalami hambatan karena gaya gesek fluida. Untuk laju yang rendah, gaya gesek fluida ini sebanding dengan kelajuan benda. 1 hal.137

f=kv

Di mana k merupakan konstantan pembanding yang bergantung pada bentuk dan ukuran benda serta sifat-sifat fluidanya.

Untuk benda yang bergerak dengan kelajuan yang besar, gaya gesekan fluida sebanding dengan kuadrat kelajuan {{v}^{2}}. 1 hal.138

f=D{{v}^{2}}

Berapakah kelajuan terminal sebuah bola yang mengalami gerak jatuh bebas (GJB) dengan gesekan diperhitungkan? Pertama kita akan menghitung kelajuan terminal bola yang jatuh bebas dalam cairan, selanjutnya menghitung kelajuan terminal bola yang jatuh bebas dalam udara.

Dalam cairan

Di dalam cairan ada tiga gaya yang bekerja pada benda: gaya berat benda w, gaya gesek fluida f, dan gaya apung {{F}_{A}}

terminal-velocity

\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }F=0

Mengapa resultan gaya F = 0 ? Karena kecepatan terminal nilainya konstan atau percepatannya = 0

w-{{F}_{A}}-f=0

w={{F}_{A}}+f

{{m}_{b}}.g={{\rho }_{f}}.g.{{V}_{t}}+kv

{{\rho }_{b}}.g.{{V}_{b}}={{\rho }_{f}}.g.{{V}_{t}}+kv

Di mana:

{{\rho }_{b}} : Massa jenis benda
{{\rho }_{f}} : Massa jenis fluida
{{V}_{b}} : Volume benda
{{V}_{t}} : Volume benda yang tercelup

Seluruh benda tercelup dalam cairan sehingga {{V}_{t}}={{V}_{b}}=V

{{\rho }_{b}}.g.{{V}_{b}}-{{\rho }_{f}}.g.{{V}_{t}}=kv

\left( {{\rho }_{b}}-{{\rho }_{f}} \right)gV=kv

v=\frac{\left( {{\rho }_{b}}-{{\rho }_{f}} \right)gV}{k}

Untuk benda yang berbentuk bola, V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} dan k=6\pi r\eta serta v kita sebut sebagai kecepatan terminal {{v}_{t}}

{{v}_{t}}=\frac{\left( {{\rho }_{b}}-{{\rho }_{f}} \right)g}{6\pi r\eta }\times \left( \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \right)=\frac{2}{9}\frac{{{r}^{2}}g}{\eta }\left( {{\rho }_{b}}-{{\rho }_{f}} \right)

Selesai.

Selanjutnya bagaimanakah perilaku benda akibat gesekan udara?

Dalam udara

kecepatan-terminal-di-udara-atmosfer

Saat benda tercelup dalam udara, gaya apung dapat diabaikan karena massa jenis udara sangat kecil dibandingkan massa jenis benda.

                                                         \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }F=0

w-f=0

w=f

mg=kv

{{v}_{t}}=\frac{mg}{k}

Berapakah kecepatan v benda pada waktu t tertentu?

\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }F=ma

w-f=m\frac{dv}{dt}

mg-kv=m\frac{dv}{dt}

\frac{dv}{mg-kv}=\frac{dt}{m}

\mathop{\int }^{}\frac{dv}{mg-kv}=\mathop{\int }^{}\frac{dt}{m}

\frac{1}{-k}\ln \left( mg-kv \right)+{{C}_{1}}=\frac{t}{m}+{{C}_{2}}

\frac{1}{-k}\ln \left( mg-kv \right)=\frac{t}{m}+C

\ln \left( mg-kv \right)=\frac{-kt}{m}+C

mg-kv={{e}^{\frac{-kt}{m}+C}}

kv=mg-{{e}^{\frac{-kt}{m}+C}}

kv=mg-C{{e}^{\frac{-kt}{m}}}

v=\frac{mg}{k}-C{{e}^{\frac{-kt}{m}}} … (1)

Kondisi awal gerak jatuh bebas v = 0 saat t = 0

v\left( t=0 \right)=v(0)=\frac{mg}{k}-C{{e}^{\frac{-k0}{m}}}

0=\frac{mg}{k}-C.1

C=\frac{mg}{k} … (2)

Subs. (2) ke (1)

v=\frac{mg}{k}-C{{e}^{\frac{-kt}{m}}}

v=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}{{e}^{\frac{-kt}{m}}}

v=\frac{mg}{k}\left( 1-{{e}^{\frac{-kt}{m}}} \right)

Ingat \frac{mg}{k}={{v}_{t}}

v=\frac{mg}{k}\left( 1-{{e}^{\frac{-kt}{m}}} \right) … (3)

v={{v}_{t}}\left( 1-{{e}^{\frac{-kt}{m}}} \right)

v akan menjadi sama dengan {{v}_{t}} hanya dalam limit bahwa t\to \infty ; batu itu tidak akan pernah mencapai kecepatan terminalnya di dalam semua panjang waktu yang dapat diukur. 1 hal.139

 

haha…. Membingungkan ya??? Kecepatan terminal akan tercapai saat t = \infty . Tak berhingga itu kapan?? Tidak dapat diukur!

Bagaimanakah dengan posisi bola pada waktu t? Integralkan saja persamaan (3)

x=\mathop{\int }^{}\frac{mg}{k}\left( 1-{{e}^{\frac{-kt}{m}}} \right)dt

x=\frac{mg}{k}\mathop{\int }^{}1-{{e}^{\frac{-kt}{m}}}dt

x=\frac{mg}{k}\left[ t-(-\frac{m}{k}{{e}^{\frac{-kt}{m}}}+C) \right]

x=\frac{mg}{k}\left[ t+\frac{m}{k}{{e}^{\frac{-kt}{m}}}+C \right] … (4)

Kondisi awal x = 0 saat t = 0

x=\frac{mg}{k}\left[ t+\frac{m}{k}{{e}^{\frac{-kt}{m}}}+C \right]

0=\frac{mg}{k}\left[ 0+\frac{m}{k}{{e}^{\frac{-k0}{m}}}+C \right]

0=\frac{mg}{k}\left[ 0+\frac{m}{k}.1+C \right]

0=\frac{mg}{k}\left[ \frac{m}{k}+C \right]

\frac{{{m}^{2}}g}{{{k}^{2}}}=-\frac{mgC}{k}

C=-\frac{m}{k} … (5)

Subs. (4) ke (5)

x=\frac{mg}{k}\left[ t+\frac{m}{k}{{e}^{\frac{-kt}{m}}}-\frac{m}{k} \right]

x=\frac{mg}{k}\left[ t+\frac{m}{k}\left( {{e}^{\frac{-kt}{m}}}-1 \right) \right]

x={{v}_{t}}\left[ t+\frac{m}{k}\left( {{e}^{\frac{-kt}{m}}}-1 \right) \right]

Bagaimanakan percepatannya saat t?

a=\frac{dv}{dt}=\frac{d\left( \frac{mg}{k}\left( 1-{{e}^{\frac{-kt}{m}}} \right) \right)}{dt}

a=\frac{mg}{k}\left( 0-\left( -\frac{k}{m}{{e}^{\frac{-kt}{m}}} \right) \right)

a=g{{e}^{\frac{-kt}{m}}}

Saat bola mencapai kecepatan terminal, t = \infty memberikan a=0. Dengan kata lain benda tidak lagi dipercepat ; benda bergerak dengan kelajuan konstan.

Perbandingan grafik gerak jatuh bebas dengan “memperhitungkan gesekan” dan “tanpa memperhitungkan gesekan”. Diplot dengan Microsoft mathematics

Kurva biru : memperhitungkan gesekan

Kurva hijau : tidak memperhitungkan gesekan

graph-percepatan-terminal

Grafik percepatan

graph kecepatan terminal.gif

Grafik kelajuan

graph posisi terminal.gif

Grafik posisi

Teka-teki kita 2 hal.84

Ketika bola ping pong dijatuhkan dari puncak gedung yang tinggi, maka pada suatu saat akan mencapai kelajuan terminal (kelajuan konstan) yaitu percepatannya nol. Sekarang anggap bola yang sama dilempar ke atas dengan kelajuan awal yang lebih besar dari kelajuan terminal. Sesaat kemudian kelajuannya sama dengan kelajuan terminal tersebut. Berapakah besar percepatannya, apakah nol, lebih besar nol tapi kurang dari g, g, atau lebih besar gari g?

Jawabannya adalah lebih besar dari g yaitu 2g. Mengapa demikian? Uji dengan hukum II Newton.

kecepatan terminal ke atas.gif

\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }F=ma

w+g=ma

mg+kv=ma

g+\frac{kv}{m}=a

Ingat bahwa {{v}_{t}}=\frac{mg}{k} sehingga

g+g=a

a=2g

Yuhuu… terbukti!

Sumber

1 Hugh D. Young & Roger A. Freedman.2002. FISIKA UNIVERSITAS EDISI KESEPULUH JILID 1. Jakarta: Erlangga.

2 Supiyanto. 2006. FISIKA UNTUK SMA KELAS X. Jakarta: Phiβeta.

Advertisements

2 thoughts on “Kecepatan Terminal”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s